Giá trị của 1/ 1 + 2 + 1/ 1 + 2 + 3 + 1/ 1 + 2 + 3 + 4 + ... + 1/ 1 + 2 + 3 + ... + 2023

Giá trị của 1/ 1 + 2 + 1/ 1 + 2 + 3 + 1/ 1 + 2 + 3 + 4 + ... + 1/ 1 + 2 + 3 + ... + 2023

Để tính giá trị của biểu thức $\frac{1}{1+2}+\frac{1}{1+2+3}+\frac{1}{1+2+3+4}+\dots +\frac{1}{1+2+3+\dots +2023}$, ta có thể thực hiện các bước sau:

$\frac{1}{1+2}+\frac{1}{1+2+3}+\frac{1}{1+2+3+4}+\dots +\frac{1}{1+2+3+\dots +2023}$

$=\frac{1}{3}+\frac{1}{6}+\frac{1}{10}+\dots +\frac{1}{2023}$

Có thể nhận thấy mẫu số của các phân số tạo thành một dãy số tam giác:

$3,6,10,\dots ,2023$

Để tìm tổng của dãy số này, ta có thể sử dụng công thức tổng của dãy số tam giác:

${�}_{�}=\frac{�(�+1)}{2}$

Ở đây, $�$ là số lượng phần tử của dãy, và ${�}_{�}$ là tổng của dãy.

Trong trường hợp này, $�$ là số lượng phần tử của dãy, là 2023, nên:

${�}_{2023}=\frac{2023\cdot (2023+1)}{2}$

Tiếp theo, để tính giá trị của biểu thức ban đầu, ta chia tử số của mỗi phân số cho các giá trị của dãy số tam giác tương ứng:

$\frac{1}{3}\cdot \frac{2}{2}+\frac{1}{6}\cdot \frac{4}{4}+\frac{1}{10}\cdot \frac{8}{8}+\dots +\frac{1}{2023}\cdot \frac{2023\cdot (2023+1)}{2}$

Kết quả của biểu thức trên sẽ là giá trị của biểu thức ban đầu