Chứng minh 2 mũ 61 + 1 là số chính phương hay không phải là số chính phương

Chứng minh 2 mũ 61 + 1 là số chính phương hay không phải là số chính phương

Để chứng minh rằng $2^{61}+1$ có phải là số chính phương hay không, ta cần xác định xem có tồn tại số nguyên $�$ sao cho $2^{61}+1={�}^2$.

Giả sử $2^{61}+1={�}^2$, với $�$ là một số nguyên. Khi đó, ta có thể viết lại phương trình như sau:

$2^{61}={�}^2-1$

Sử dụng công thức chia tứ giác, ta có:

$2^{61}=(�+1)(�-1)$

Bây giờ, ta cần kiểm tra xem có tồn tại số nguyên $�$ sao cho $2^{61}=(�+1)(�-1)$. Dễ thấy, $�+1$ và $�-1$ là hai số liên tiếp, nên một trong chúng phải chia hết cho 2.

Nếu $�+1$ chia hết cho 2, thì $�-1$ là số lẻ. Ngược lại, nếu $�-1$ chia hết cho 2, thì $�+1$ là số lẻ. Trong cả hai trường hợp, một trong hai thừa số chia hết cho 2, nhưng không phải cả hai.

Nhưng $2^{61}$ là một lũy thừa của 2, và nó chỉ có thể chia hết cho 2 một lần. Do đó, không có số nguyên $�$ thỏa mãn phương trình, và $2^{61}+1$ không phải là số chính phương.

Tóm lại, $2^{61}+1$ không phải là số chính phương.