Tìm 20 chữ số tận cùng của 100! ( giai thừa )

Tìm 20 chữ số tận cùng của 100! ( giai thừa )

Để tìm 20 chữ số cuối cùng của $100!$ (giai thừa của 100) mà không sử dụng máy tính, chúng ta có thể áp dụng một số kỹ thuật toán học và quy tắc về các yếu tố trong giai thừa. Dưới đây là cách thực hiện:

1. Quy tắc về số 5 và số 2:

   • Trong $100!$, số lượng số 2 sẽ nhiều hơn số 5, nên chúng ta chỉ cần xem xét số lượng yếu tố 5.
   • Để tính số lượng yếu tố 5, chia 100 cho 5, nhưng cũng cần xem xét các số nhỏ hơn 100 có thể chia hết cho 5 nhiều lần.

2. Tính số lượng yếu tố 5:

   • $\lfloor \frac{100}{5}\rfloor +\lfloor \frac{100}{25}\rfloor +\lfloor \frac{100}{125}\rfloor +\dots$
   • $\lfloor \frac{100}{5}\rfloor =20$
   • $\lfloor \frac{100}{25}\rfloor =4$
   • $\lfloor \frac{100}{125}\rfloor =0$ (vì không có số nhỏ hơn 100 có thể chia hết cho 125)

3. Tính $5^{24}$:

   • $5^{24}$ có 24 chữ số 0 cuối cùng.

4. Tính phần còn lại:

   • $100!=2^{97}\times 5^{24}\times \text{ph}\grave{\stackrel{ˆ}{\text{a}}}\text{n c}\grave{\text{o}}\text{n lại}$
   • Phần còn lại chỉ giữ lại 20 chữ số cuối cùng.

5. Kết hợp kết quả:

   • Nhân $5^{24}$ với phần còn lại, và giữ lại 20 chữ số cuối cùng.

Kết quả cuối cùng sẽ là 20 chữ số cuối cùng của $100!$. Điều này có thể được thực hiện bằng tay, mặc dù đòi hỏi một số bước tính toán khá nhiều.