Tính 1 cách hợp lý = áp dụng tính tổng dãy phân số có quy luật Toán nâng cao lớp 6 thi học sinh giỏi

Tính 1 cách hợp lý = áp dụng tính tổng dãy phân số có quy luật Toán nâng cao lớp 6 thi học sinh giỏi

 

Để tính tổng của một dãy phân số có quy luật, trước hết, chúng ta cần nhận biết quy luật của dãy đó. Dưới đây là một ví dụ về cách tính tổng của một dãy phân số với quy luật cụ thể:

Giả sử chúng ta có dãy phân số như sau:

$�=\frac{1}{2}+\frac{2}{3}+\frac{3}{4}+\frac{4}{5}+\dots +\frac{�}{�+1}$

Ở đây, quy luật là mẫu số của phân số thứ i bằng tử số của phân số thứ (i-1). Cụ thể, $\frac{�}{�+1}$, với i từ 1 đến n.

Để tính tổng S, bạn có thể thực hiện những bước sau:

1. Xác định quy luật: $\frac{1}{2},\frac{2}{3},\frac{3}{4},\frac{4}{5},\dots ,\frac{�}{�+1}$

2. Viết biểu thức tổng chung S: $�=\frac{1}{2}+\frac{2}{3}+\frac{3}{4}+\frac{4}{5}+\dots +\frac{�}{�+1}$

3. Phân tích từng phân số thành tổng hai phân số: $�=\left(\frac{1}{2}\right)+(\frac{2}{3}-\frac{1}{2})+(\frac{3}{4}-\frac{2}{3})+\dots +(\frac{�}{�+1}-\frac{�-1}{�})$

4. Rút gọn các phân số và thấy rằng nhiều thành phần bị hủy nhau: $�=\frac{1}{2}+(\frac{2}{3}-\frac{1}{2})+(\frac{3}{4}-\frac{2}{3})+\dots +(\frac{�}{�+1}-\frac{�-1}{�})$ $�=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\dots +\frac{1}{�}-\frac{�-1}{�}$

5. Tính tổng: $�=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\dots +\frac{1}{�}-\frac{�-1}{�}$

Có thể thấy rằng, dãy này sẽ hội tụ về một giá trị cố định khi n tiến đến vô cùng. Bạn có thể tính giá trị này bằng cách thay n bằng một giá trị lớn và tính toán giá trị xấp xỉ.