Tìm số tự nhiên x biết ( 1/1.2 + 1/2.3 + 1/3.4 + ... + 1/99.100 ) x mũ 2 = 99

Tìm số tự nhiên x biết ( 1/1.2 + 1/2.3 + 1/3.4 + ... + 1/99.100 ) x mũ 2 = 99

Để giải phương trình $(\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.}+\frac{1}{99.100})\cdot {�}^2=99$, ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Tính tổng $\frac{1}{�(�+1)}$ từ $�=1$ đến $�=99$.
2. Nhân tổng trên với ${�}^2$ và giải phương trình $\text{Tổng}\cdot {�}^2=99$.

Bước 1:

$\text{Tổng}=\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 4}+\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.}+\frac{1}{99\cdot 100}$

Để thấy được mô hình, chúng ta có thể viết $\frac{1}{�(�+1)}$ dưới dạng $\frac{1}{�}-\frac{1}{�+1}$. Khi thực hiện phép cộng, nhiều số hạng sẽ đơn giản hóa và hủy bớt.

$\text{Tổng}=(\frac{1}{1}-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})+\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.}+(\frac{1}{99}-\frac{1}{100})$

Các số hạng giảm đi và nhiều số hạng sẽ bị hủy nhau.

$\text{Tổng}=1-\frac{1}{100}=\frac{99}{100}$

Bước 2:

$\text{Tổng}\cdot {�}^2=99$

$\frac{99}{100}\cdot {�}^2=99$

${�}^2=\frac{99\cdot 100}{99}$

${�}^2=100$

$�=10$

Vậy nên, $�=10$ là nghiệm của phương trình đã cho