Tìm số tự nhiên n thoả mãn điều kiện 2.2 mũ 2 + 3.2 mũ 3 + 4.2 mũ 4 + ... + n. 2 mũ n = 2 mũ n + 11

Tìm số tự nhiên n thoả mãn điều kiện 2.2 mũ 2 + 3.2 mũ 3 + 4.2 mũ 4 + ... + n. 2 mũ n = 2 mũ n + 11

Để tìm số tự nhiên $�$ thoả mãn điều kiện:

$2\cdot 2^2+3\cdot 2^3+4\cdot 2^4+\dots +�\cdot 2^{�}=2^{�}+11$

Chúng ta có thể sử dụng công thức tổng của dãy số hình học để giải quyết vấn đề này. Công thức tổng của dãy số hình học là:

${�}_{�}=�\cdot \frac{{�}^{�}-1}{�-1}$

Ở đây, $�$ là phần tử đầu tiên của dãy, $�$ là tỉ số công bội.

Ứng với dãy số của bài toán, chúng ta có:

${�}_{�}=2\cdot 2^2+3\cdot 2^3+4\cdot 2^4+\dots +�\cdot 2^{�}={\sum }_{�=2}^{�}�\cdot 2^{�}$

Dùng công thức tổng, ta có:

${�}_{�}=2\cdot \frac{2^{�+1}-4-�\cdot 2^{�}+2}{(2-1{)}^2}$

Bây giờ, ta đặt điều kiện:

${�}_{�}=2^{�}+11$

Thay giá trị ${�}_{�}$ vào phương trình:

$2\cdot \frac{2^{�+1}-4-�\cdot 2^{�}+2}{(2-1{)}^2}=2^{�}+11$

Simplifying phương trình:

$2^{�+1}-4-�\cdot 2^{�}+2=2\cdot (2^{�}+11)$

$2^{�+1}-4-�\cdot 2^{�}+2=2^{�+1}+22$

$-4-�\cdot 2^{�}+2=22$

$-�\cdot 2^{�}=24$

Đặt $�=�-1$, ta có:

$-(�+1)\cdot 2^{�+1}=24$

$(�+1)\cdot 2^{�+1}=-24$

Ở đây, $�$ là một số nguyên dương. Ta thử các giá trị của $�$ để tìm giá trị phù hợp.

$�=3⟹4\cdot 2^4=64$

$�=4⟹5\cdot 2^5=160$

$�=5⟹6\cdot 2^6=192$

$�=6⟹7\cdot 2^7=224$

$�=7⟹8\cdot 2^8=256$

Không có giá trị nào của $�$ thỏa mãn phương trình. Do đó, không có giá trị nào của $�$ làm cho điều kiện trên đúng